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Terminale Maths Exp Page 278 · n°83

N°83 Page 278

Graphes

Énoncé Énoncé

On suppose que l'hérédité d'une maladie chez un individu est déterminée par deux gènes $\textcolor{#caa7ff}{A}$ et $\textcolor{#caa7ff}{B}$. Un individu est dans l'état :

La matrice de transition $\textcolor{#caa7ff}{P}$ ci-dessous est associée à la chaîne de Markov traduisant l'évolution de l'état d'un individu d'un génération à la suivante.

$$\textcolor{#caa7ff}{
P =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \newline
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \newline
0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}
}$$

1.a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $\textcolor{#caa7ff}{n \ge 1}$,

$$\textcolor{#caa7ff}{
P^n =
\begin{pmatrix}
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}} \newline
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \newline
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}}
\end{pmatrix}
}$$

b) Interpréter le coefficient en ligne $\textcolor{#caa7ff}{1}$ et colonne $\textcolor{#caa7ff}{2}$ de la matrice $\textcolor{#caa7ff}{P^n}$ pour tout entier naturel $\textcolor{#caa7ff}{n \ge 1}$.
2.a) Déterminer la limite de chacun des coefficients de la matrice $\textcolor{#caa7ff}{P^n}$.
b) En déduire la distribution invariante $\textcolor{#caa7ff}{\pi}$ de la chaîne et interpréter le résultat.

Solution Révéler quand vous êtes prêt

1.a)

Initialisation :
Pour $\textcolor{#caa7ff}{n = 1}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\begin{gathered}
&
\begin{pmatrix}
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}} \newline
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \newline
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}}
\end{pmatrix}
\newline
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{2^{0} + 1}{2^{2}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{0} - 1}{2^{2}} \newline
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \newline
\dfrac{2^{0} - 1}{2^{2}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{0} + 1}{2^{2}}
\end{pmatrix}
\newline
&=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \newline
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \newline
0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix}
\newline
&= P
\end{gathered}
}$$

Hérédité :
On suppose que $\textcolor{#caa7ff}{P^n =
\begin{pmatrix}
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}} \newline
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \newline
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}}
\end{pmatrix}}$ avec $\textcolor{#caa7ff}{n \in \mathbb{N}^*}$

$$\textcolor{#caa7ff}{
P^{n+1} \newline =
P^n \cdot P \newline =
\begin{pmatrix}
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}} \newline
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \newline
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \newline
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \newline
0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}
\end{pmatrix} \newline =
\begin{pmatrix}
\bigl(
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+2}}
+
\dfrac{1}{8}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+2}}
+
\dfrac{1}{4}
+
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+2}}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{1}{8}
+
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+2}}
\bigr)
\newline
\bigl(
\dfrac{1}{4}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{1}{2}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{1}{4}
\bigr)
\newline
\bigl(
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+2}}
+
\dfrac{1}{8}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+2}}
+
\dfrac{1}{4}
+
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+2}}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{1}{8}
+
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+2}}
\bigr)
\end{pmatrix} \newline =
\begin{pmatrix}
\bigl(
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+2}}
+
\dfrac{2^{n-1}}{2^{n+2}}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+2}}
+
\dfrac{2^n}{2^{n+2}}
+
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+2}}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{2^{n-1}}{2^{n+2}}
+
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+2}}
\bigr)
\newline
\bigl(
\dfrac{1}{4}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{1}{2}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{1}{4}
\bigr)
\newline
\bigl(
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+2}}
+
\dfrac{2^{n-1}}{2^{n+2}}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+2}}
+
\dfrac{2^n}{2^{n+2}}
+
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+2}}
\bigr)
&
\bigl(
\dfrac{2^{n-1}}{2^{n+2}}
+
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+2}}
\bigr)
\end{pmatrix} \newline =
\begin{pmatrix}
\dfrac{2^n + 1}{2^{n+2}}
&
\dfrac{2^{n+1}}{2^{n+2}}
&
\dfrac{2^n - 1}{2^{n+2}}
\newline
\dfrac{1}{4}
&
\dfrac{1}{2}
&
\dfrac{1}{4}
\newline
\dfrac{2^n - 1}{2^{n+2}}
&
\dfrac{2^{n+1}}{2^{n+2}}
&
\dfrac{2^n + 1}{2^{n+2}}
\end{pmatrix} \newline =
\begin{pmatrix}
\dfrac{2^n + 1}{2^{n+2}}
&
\dfrac{1}{2}
&
\dfrac{2^n - 1}{2^{n+2}}
\newline
\dfrac{1}{4}
&
\dfrac{1}{2}
&
\dfrac{1}{4}
\newline
\dfrac{2^n - 1}{2^{n+2}}
&
\dfrac{1}{2}
&
\dfrac{2^n + 1}{2^{n+2}}
\end{pmatrix}
}$$

Ainsi, la propriété est initialisée à $\textcolor{#caa7ff}{n = 1}$ et héréditaire donc:

$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\forall n \in \mathbb{N}^*
\quad
P^n =
\begin{pmatrix}
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}} \newline
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \newline
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}}
\end{pmatrix}
}
}$$

b) Un individu étant dans l'état $\textcolor{#caa7ff}{(D)}$ dominant a donc $\textcolor{#caa7ff}{1}$ chance sur $\textcolor{#caa7ff}{2}$ de passer à l'état $\textcolor{#caa7ff}{(H)}$ hybride apres un nombre $\textcolor{#caa7ff}{n \ge 1}$ de générations.

2.a) D'une part :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}} = \dfrac{2^{n-1}\bigl(1 + \dfrac{1}{2^{n-1}}\bigr)}{2^{n-1} \times 2^2} = \dfrac{1 + \dfrac{1}{2^{n-1}}}{4}
\newline \Rightarrow
\lim_{n \to +\infty} \bigl(\dfrac{2^{n-1} + 1}{2^{n+1}}\bigr) = \lim_{n \to +\infty} \bigl(\dfrac{1 + \dfrac{1}{2^{n-1}}}{4}) = \dfrac{1}{4}
}$$

D'autre part :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}} = \dfrac{2^{n-1}\bigl(1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}\bigr)}{2^{n-1} \times 2^2} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}}{4}
\newline \Rightarrow
\lim_{n \to +\infty} \bigl(\dfrac{2^{n-1} - 1}{2^{n+1}}\bigr) = \lim_{n \to +\infty} \bigl(\dfrac{1 - \dfrac{1}{2^{n-1}}}{4}) = \dfrac{1}{4}
}$$

Ainsi :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\lim_{n \to +\infty} P^n =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \newline
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4} \newline
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4}
\end{pmatrix}
}$$

b) Ainsi, après un nombre infini de générations, peu importe l'état initial, les chances convergent vers :

  • $\textcolor{#caa7ff}{\dfrac{1}{4}}$ de devenir $\textcolor{#caa7ff}{(D)}$ dominant
  • $\textcolor{#caa7ff}{\dfrac{1}{2}}$ de devenir $\textcolor{#caa7ff}{(H)}$ hybride
  • $\textcolor{#caa7ff}{\dfrac{1}{4}}$ de devenir $\textcolor{#caa7ff}{(R)}$ récessif

On a donc
$$\textcolor{#caa7ff}{\boxed{
\pi = \begin{pmatrix}
\dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{4}
\end{pmatrix}
}}$$